请问拿到离婚证和离婚协议后，是否可以直接去公证孩子抚养权？

孩子抚养权公证没有时间限制。双方在签署抚养协议之后尽快办理即可。法律规定孩子抚养权父母双方可以先协商确定，协商不成的可以上诉法院。协议的内容必须是符合法律规定的，并且是双方自愿签署的,才会具有法律效力。
如果双方要求，可以对协议进行公正，以保障双方的合法权益。需要注意的是协议最好采取书面形式，然后双方签字。法律依据：《中华人民共和国民法典》 第一千零八十四条 父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。 离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。
子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。
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婚内小孩抚养权是可以依法进行公证的。且子女抚养权公证需要当事人带申请人双方的身份证、离婚证、小孩的户口簿、出生证、抚养权协议书或法院判决书向公证处申请公证。公证人员受理后进行审查。
审查合格，发放证件。法律依据：《中华人民共和国公证法》第二十五条
自然人、法人或者其他组织申请办理公证，可以向住所地、经常居住地、行为地或者事实发生地的公证机构提出。
第三十条
公证机构经审查，认为申请提供的证明材料真实、合法、充分，申请公证的事项真实、合法的，应当自受理公证申请之日起十五个工作日内向当事人出具公证书。
但是，因不可抗力、补充证明材料或者需要核实有关情况的，所需时间不计算在期限内。
第三十六条
经公证的民事法律行为、有法律意义的事实和文书，应当作为认定事实的根据，但有相反证据足以推翻该项公证的除外。
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法律分析：通常情况下，孩子的抚养权可以提前公证，且该公证是有效的。孩子抚养权的公证一般需要当事人携带申请人双方的身份证、离婚证、小孩的户口簿、出生证、抚养权协议书或法院判决书等资料，向公证处申请抚养权公证。
公证人员受理该申请后会进行审查。审查合格的，公证人员会发放证件。法律依据：《公证程序规则》 第十九条 符合下列条件的申请，公证机构可以受理：
(一)申请人与申请公证的事项有利害关系；
(二)申请人之间对申请公证的事项无争议；
(三)申请公证的事项符合《公证法》第十一条规定的范围；
(四)申请公证的事项符合《公证法》第二十五条的规定和该公证机构在其执业区域内可以受理公证业务的范围。法律、行政法规规定应当公证的事项，符合前款第一项、第二项、第四项规定条件的，公证机构应当受理。